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Student
Student

brauche bitte dringend Hilfe bei folgender Aufgabe f(x)=-1/15x^3+2/5x^2+1/15

Bei welcher Teilaufgabe hängt es denn?

Student

im Grunde überall. Hab Garde keine Ahnung was ich überhaupt machen soll.

ok als fangen wir einfach mal mit der oben in der Mitte an wo man 3 in die Ableitung setzen soll. kannst du die Ableitung bilden?

Student

ja Ableitung kann ich. Moment.

Student
Student

dann ist das doch die Ableitung richtig? muss ich das jetzt erst 0 setzten bevor ich die 3 für x einsetzte oder einfach jetzt direkt einsetzen und die ganze Funktion ausrechnen?

Die Ableitung stimmt und du musst jetzt nur 3 für x einsetzen. Gleich 0 setzen machst du nur um eine Extremstelle zu bestimmen

Student

aaahh ok

Als Ergebnis sollte 0,6 rauskommen und dann sollst du noch erklären was das bedeutet. Was macht denn eine Ableitung so ganz allgemein?

Und was bedeutet die 3, die du für x eingesetzt hast?

Student

ja hab ich auch raus. Die Ableitung allgemein gibt die Steigung der Normalfunktion an. und was wäre jetzt in diesem Fall die Steigung? sind das dann die Besucher, die in diesem Moment rein / raus gehen?

Das heißt, das die momentane Änderung der Personenzahl zum Zeitpunkt x= 3 Stunden 0,6 beträgt

0,6*100 um genau zu sein, weil in der Aufgabe ja steht, das die Funktion die Personenanzahl in Hundertern angibt

Student

Oh man danke. hast mir schon Mal n ganzes Stück weiter geholfen. hab im Moment so das Gefühl das ich es gar nicht verstehe...

Student

ja stimmt

bei der Aufgabe rechts am Rand wird nach einem sinnvollen Definitionsbereich gefragt, kannst du damit was anfangen?

Das bekommen wir schon hin :b

Student

hmm nicht direkt. ich denke Mal so da. 12 Stunden auf der x Achse. länger hat ja so ne Disko normal nicht auf😂

Definitionsbereich = das was du für x einsetzen kannst, Wertebereich = das was am Ende so rauskommen kann

genau, das was du schreibst ist genau richtig :)

Student

sehr gut :D

also x kann im Bereich {0,12] liegen, wenn du meinst, dass die 12 Stunden Party aushalten

ok, wann sind die meisten Besucher in der Disco?

Wie heisst das allgemein, was du da berechnen musst und wie geht das?

Student

😂😂 vielleicht sind ja 6 Stunden auch genug...

Student

denke da mit ist der lokale Hochpunkt gemeint oder?

ja, hätte auch nicht so hart zugeschlagen mit 12 Stunden ;) aber da geht es nur drum, dass du verstehst was gemeint ist

genau

Student

da haben wir so ein drei Schritte verfahren kennen gelernt.

Die Ableitung hast du ja schon, was wären die anderen beiden Schritte?

Student

ähmm

Student

diese hinreichende Bedingung also irgend wie was für x einsetzen oder?

Also, die Idee ist folgende: Bei einem Extrempunkt ist die momentane Steigung = 0, also muss die Ableitung = 0 gesetzt werden. Das kannst du air auch bildlich vorstellen: Wenn du genau an den Extrempunkt eine Tangente anlegst ist sie waagerecht.

Student

ja klingt plausibel

waagerechte Tangens = Steigung 0

ok, also setzen wir die Ableitung = 0 und lösen nach x auf

Student

ok Moment

Student

Es sollte 2 Werte rauskommen, einmal 0 und 4, passt das?

Student

da hänge ich grade...

Ohh nein, da musst du die pq Formel anwenden. Am besten vorher mal (-5) rechnen um den Vorfaktor vor dem x^2 los zu werden

Student

Oh man. okii also auswendig kann ich dir sogar. weiß nur iregend wie nicht wie ich die Fälle unterscheiden kann wann ich was anwenden muss.

Ich muss mal 10 min weg. Für x solltest du wie gesagt 0 und 4 rausbekommen mit der pq Formel und dann musst du noch prüfen, ob es sich bei einem der beiden Stellen um ein Maximum handelt

Student

ok danke erst mal. meld dich gleich bitte noch Mal eben wieder. 😉

Ein Maximum liegt vor, wenn die 2. Ableitung < 0 ist, wenn du den x-wert einer Extremstelle einsetzt.

Student

was wäre denn in meinem Fall q?

0

2 +/- Wurzel(4) sollte dann da stehen und dann kommst du auf deine 2 x werte

Student
Student

hä?

q ist die Zahl ohne Variable

das gibt es hier nicht, also ist q null

Student
Student

also so richtig? schwere Geburt 😂

x1 müsste dann 0 sein, denn 2- Wurzel(4) = 2-2 = 0

x2 = 2+2 = 4

Student

ja hab ich

okay

das heisst bei x=0 und bei x=4 sind extremstellen und wir müssen prüfen, ob eins davon auch ein maximum ist

also beides mal in die 2. Ableitung setzen und schauen was jeweils rauskommt

Student

x1 = 0 und nicht 2

Student

meine 2. Ableitung war die, die wir 0 gesetzt haben oder? sorry verstehe jetzt nicht so ganz wie du auf 0 kommst 😬

Student

ach ja. wurzel aus 4=2

genau

2. Ableitung müssen wir noch bilden

also einfach die erste Ableitung nochmal ableiten

Student

achso das haben wir im Unterricht noch nie gemacht.

Wobei du in dem Fall auch clever argumentieren könntest: Die minimale Besucherzahl musst ja am Anfang gewesen sein, also bei x=0

Dann muss x= 4 das maximum sein

Du kannst so oft ableiten bis von der Funktion nichts mehr übrig bleibt, und das geht immer gleich :)

Student
Student

ist das jetzt die 2. Ableitung?

man schreibt bei der 2. Ableitung oben einfach 2 striche, statt einem und es müsse -0,4x + 0,8 rauskommen

Student

achso okii. und was kann ich jetzt da mit anstellen?

wenn du da deine 2 verschiedenen x werte der extremstellen einsetzt hast du ein maximum wenn etwas kleineres als 0 rauskommt und ein minimum, wenn etwas größeres als 0 rauskommt

Student

der Zusammenhang ist mir grade nicht ganz klar.

Student

war das jetzt der dritte Schritt?

Bildlich kannst du dir das so vorstellen: An einer Extremstelle ist die Steigung ja 0. Wenn die Steigung nun ansteigt, also größer 0 wird, heisst das ja, dass die Funktion auch hoch geht. Und hoch gehen kann sie ja nicht, wenn sie schon an einem Maximum war, also musst du an einem Minimum gewesen sein.

Student

ja

1. Schritt: Ableitung bilden 2.Schritt: Ableitung 0 setzen und nach x auflösen 3. Schritt: Mit 2. Ableitung oder logischer Überlegung prüfen, ob es sich um Minima oder Maxima handelt

Student

also muss ich in die 2. Ableitung für x jeweils 4 und 0 einsetzen?

Dadurch wissen wir, dass bei x=4 ein Maximum ist und jetzt müssen wir noch ausrechen wie viele Personen zu der Zeit in der Disco sind. Wie geht das?

Du musst 0 bzw 4 für x einsetzen

und schauen ob das Ergebnis positiv oder negativ ist

Student

keine Ahnung. wir müssen ja nun irgend wie an den y-wert kommen.

Student
Student

das ist mir jetzt klar geworden.

super, das sieht gut aus und ja wir brauchen jetzt den y-wert an der stelle x=4

und dazu setzen wir einfach x=4 in die normale Funktion ein

Student

genau also wieder in die Normalformel x=4 einsetzten?

Student

ach perfekt

Student

da hab ich 2.2 raus

Student

also ist unser Hochpunkt (4|2,2) oder?

genau, wie viele Leute sind also maximal in der disco?

Student

2,2*100 also 220 Leute

Ok, gut soweit :)

Unten in der Mitte ist einfacher zu erklären indem ich dir einfach sage wie es geht

Student

Dankeschön ich weiß gar nicht wie ich das gut machen kann.

Du musst die Funktion sozusagen um 2 Stunden nach rechts verschieben

Student

sehr gut 👍

Wenn du dich daran erinnerst wie das damals bei den Parabeln ging kannst du hier das gleiche Prinzip anwenden und du bekommst f(x) = -(1/15) * (x-2)^3 + (2/5) *(x-2) + 1/15

Wir sind ja hier um Sachen zu erklären ;)

Student

hmmm ja klingt gut 😂👍

So jetzt ist nur noch eine Aufgabe übrig

Student

Moment. kann ich dann einfach die Formel übernehmen? also diese -1/15*x-2...

ja du ersetzt praktisch x durch (x-2)

Student

da hast du jetzt quasi mit dem x-2 den Graphen 2 Stunden weg geschoben.

wenn sie schon um 15 Uhr aufmachen würden würdest du x durch (x+5) ersetzen

(x+a) entspricht einer Verschiebung um a nach links (x-a) entspricht einer Verschiebung um a nach rechts

Student

ok. 👍👍 letzte?

ja, das ist ja dann die links aussen, die ist etwas schwieriger zu verstehen, hast du eine Idee?

Student

unten links

Student

hmmm die Schlange ist wahrscheinlich am längsten wenn am wenigsten neue Leute rein gelassen werden.

das wäre eine logische Möglichkeit, aber wir sollten hier davon ausgehen, dass durchgängig Leute reingelassen werden

Also bleibt noch die Möglichkeit, dass die Schlange am längsten ist, wenn gerade die meisten neuen Leute ankommen

also sozusagen die lokale Änderungsrate ;)

also die lokale Änderungsrate soll maximal sein um genau zu sein. Wie könnte man das rechnen?

Student

hmm jaa 👍 mit der Ableitungsfunktion? und 2 Punkten ging das doch irgend wie oder?

das wäre die mittlere änderungsrate

die lokale Änderungsrate ist die Ableitung in einem bestimmten punkt

Student

ach jaaa

und wenn die lokale Änderungsrate maximal sein soll müssen wir also das maximum der Ableitungsfunktion bestimmen

Student

wie bestimmt man das am besten? vom GTR zeichnen lassen?

wir müssen einfach die Ableitung ableiten und = 0 setzen

Also die 2. Ableitung = 0 setzen

Student

achsoo 👍

Dann nach x auflösen und wir haben die extremstelle, dann müssen wir noch überlegen warum das ein maximum ist

Student

also -0,4+0,8=0

Student

würdet mit der pq Formel?

Student

wieder*

-0,4x + 0,8 = 0

du hast das x vergessen

und pq brauchst du nur bei quadratischen funktionen

Student

Oh Jo

hier kannst du einfach nach x auflösen

Student

ok

Student

da komm ich auf x=0,4

da ist bei dir irgendwo was schief gelaufen ;)

Student

jaa glaub auch danke 😂😂

Student

also haben wir jetzt 2 raus.

genau

also ist da eine extremalstelle

aber es soll ein maximum sein. woher wissen wir, dass es ein maximum ist?

Student

am Vorzeichenwechsel?

ja, entweder am Vorzeichen Wechsel wenn du in die 2. Ableitung etwas minimal kleiner und dann minimal größeres als 2 einsetzt

oder daran, dass die 3. Ableitung negativ ist für x=2

Student

ok 😂

Student

wir haben es bis jetzt nur mit vzw gemacht.

oder wenn du genau hinschaust siehst du, dass deine betrachtete Funktion, also die erste Ableitung eine nach unten geöffnete Parabel ist und die haben immer nur ein maximum

Student

ja dann ist ja alles klar oder?

besonders in Mathe gibt es oft viele Wege ;)

Japp hoffe ich doch :)

Student

also ist es ein Maximum geblieben , der auf x=2 liegt. müssen wir noch wissen wie hoch auf y?

Wenn alles passt kannst du das Thema schliessen :)

Es ist nur gefragt wann die Schlange am längsten ist, also nach 2 Stunden

und du müsstest noch die Ableitung zeichnen

das kannst du mit einer Wertetabelle machen

Student

sehr gut 👍👍 ja das bekomm ich hin. die 2. Ableitung oder?

Student

dann sag ich Mal vielen Dank. hoffe wir schreiben uns noch Mal wenn was ist. hast mir super geholfen. 😉👍👋👌

Du müsstest die 1. Ableitung zeichnen, weil das die Funktion ist, die bestimmt, wie viel Andrang vor der Tür ist ;) Ansonsten antworte ich natürlich öfter hier, bis dann!

Student

super danke 👍

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