Hausaufgaben-Lösungen
von Experten
Aktuelle Frage Mathe
Student

Die PQ Formel kennst du, oder?

Student

Ja

Die schreibst dir am besten einfach mal hin mit q= k^2

Student

Also anstatt q nimmt man k ins Quadrat?

Ja weils ja in dem Fall dein q ist

Student

Also unter der Wurzel

Student

Achso ja

K zum quadrat

Student

Aber wie rechnet man dann weiter weil man ja keine Zahl hat

Student

Aber das q steht ja eigentlich an letzter Stelle unter der Wurzel

Was steht denn da wenn du das hinschreibst und soweit rechnest wie du kannst?

Student
Student

Das ist ja die normale formel

Genau

Student

Und dann soll ich für q k^2 einsetzen?

Ja und p=2

Student

Ja

Dann steht da -1 +- Wurzel(1-k^2)

Du weißt das x ganzzahlig sein muss also muss auch der Ausdruck der aus der Wurzel rauskommt ganzzahlig sein

Macht das Sinn soweit?

Student

Ja

Student
Student

Hab das jetzt so

Mit der Argumentation oben und dem Wissen, dass eine negative Zahl unter der Wurzel ist, findet man nun die beiden Lösungen

Student

Dann muss doch dann eigentlich leere lösungsmenge rauskommen, weil unter der Wurzel ja nichts negatives stehen darf?

Es folgt daraus nämlich, dass k^2 ganzzahlig und <= 1 sein muss

Warum denn die leere Lösungsmenge?

Student

Was bedeutet denn überhaupt denn genau "ganzzahlig"

Eine ganze Zahl

Student

Weil das k^2 negativ ist, ist ja ein Minus davor

-2,-1,0,1,2 etc

Student

Ja okey, da steht ja die 1 unter der Wurzel

Ja, aber da steht doch 1-k^2

Student

Ja

Genau

Student

Und wie macht man dann weiter

Welche Quadratzahlen kennst du die nicht größer sind als 1?

Student

Keine?

Was ist denn 1*1?

Student

Achso 1

Student

Aber man weiß ja nicht welche Zahl "k" ist

Ubd 1 ist ja wohl nicht größer als 1 und somit eine Lösung

Das sollst du ja herraus finden

Student

Also gibt es dann nur eine nullstelle, weil unter der Wurzel 0 raus kommt?

In dem Fall gebe es nur eine Doppellösung, ja

Student

Aber wie schreibt man das dann auf?

Aber was ist den das andere k, das zum quadrat kleiner 1 ist?

Student

Auch 1?

1 haben wir schon ;)

Wir suchen noch eine andere

Student

Häää?😂

0*0?

Student

Aber man muss doch immer dieselbe Zahl nehmen also wenns um das Quadrat geht

Student

Wo muss man das einsetzen?

Du sollst ja k finden

Student

Ja

Student

Und wie macht man das genau

Schreib unter der PQ formel mal hin, dass x1,2 ganzzahlibg sein soll

Und schreib"daraus folgt, dass auch das Ergebnis der Wurzel ganzzahlibg sein muss"

Verstehst du warum das so ist?

Student

Ich denke mal, weil man ja eine ganzzahlige Lösung will und man das ergebnis vor der Wurzel ja damit plus oder minus nehmen muss?

Genau ja

Und weil vor der Wurzel mit der -1 doch schon eine ganze Zahl steht

Student

Ja

Student

Aber unter der Wurzel darf ja nur eine Zahl stehen, bzw. Das Ergebnis der Wurzel

und nur eine ganzzahlige Zahl-1 ergibt wiederrum ne ganze Zahl

Wir kommen jetzt zur Wurzel

Student

Und was ist der Unterschied zwischen einer ganzzahligen Zahl und einer ganzen Zahl

Es sollte dir klar sein, dass keine negative Zahl unter der Wurzel stehen darf

Ganzzahling und eine ganze Zahl sind das gleiche

Student

Jaa ich weiß und das k^2 ist ja negativ

Student

Ja ok

Daraus folgt dann das 1-k^2>= 0 sein muss

Student

Also muss man für k 1 einsetzen?

Student

Aber das ergibt doch dann +2

Und durch umformen weißt du, dass k^2<=1 ist

Student

Umformen?

Die ungleichung

Wenn du beide seiten +k^2 rechnest

Student

Okey🤔

Nicht verständlich? ;)

Student

Eigentlich versteh ich das Thema, aber bei diesem k^2 kann ich einfach nicht folgen 😩

Es geht doch hier nur um die Umformung einer Ungleichung

Das k^2 lösen wir gleich noch auf

Student

Ja ik

Student

Ok*

Mit der Unformung weißt du eben, dass k*k maximal 1 sein muss

Student

Und woher?

Das steht doch da

K^2<=1

Student

Achso ja

Dazu kommt, dass nur ganzzahlige Zahlen, ganzzahlige Quadrate haben

Student

Ja

Und wenn k^2 höchstens 1 sein kann

Kann k höchstens die Wurzel aus 1 sein

Student

Dann ist es 1?

1 ist der maximale Wert

Aber es gibt noch genau einen kleineren und zwar die 0

Student

Ja

Und rein theoretisch auch noch -1

Student

Dann ist unter der Wurzel ja nur die 1

Das ist ja egal

Student

Aber wenn man -1 einsetzt, kommt doch 1 raus

Student

Achso ik

Student

Ok

Du willst einfach nur Werte für k finden die ganzzahlige Lösungen geben

Student

Okey

Also hast du hier deine 3 Werte die für k möglich sind

Student

Die sind also 1;0;-1

Genau ja

Ich denk mal jetzt gilt es noch das ganze förmlich aufzuschreiben

Student

Und warum kann man da zB nicht einfach 2 einsetzten?

Student

Ja

Wenn du 2 für k einsetzt ist k^2 =4 und unter der Wurzel steht -3

Student

Aber das ist doch auch ne ganze zahl

Nein ist es nicht

-1+- Wurzel(-3) ist im reellen nicht berechenbar

Student

Also wäre das dann eine leere lösungsmenge

Für x, ja

In deinem Beispiel geht es aber darum k zu finden

Student

Ja

Zeig mal, was du bis jetzt geschrieben hast

Student

Könnte man dann nicht theoretisch die Formel umstellen?

Wie?

Student

Es geht wirklich darum, das du verstehst was bis jetzt am Zettel steht ;)

Student

Ja bis jetzt versteh ich das auch, ich weiß nur nicht wie ich das weiter aufschreiben soll

Du schreibst dass die Wurzel nicht negativ sein darf darunter

Student

Ja hab ich

Und stellst dann eine Ungleichung auf, die sagt dass keine negative Zahl unter der Wurzel steht

Student

Und wie macht man das?

Es geht um den Ausdruck unter der Wurzel

Wie muss der sein, damit er nicht negativ ist?

Student

Geht es um Das -k^2?

Um 1-k^2

Student

Also um die Stellen unter der Wurzel

Schau her. Du willst nicht das unter der Wurzel eine negative Zahl steht. Unter der Wurzel steht im Moment 1-k^2

Also muss 1-k^2 wohl größer und zumindest gleich Null sein

Student

Ja

Student

Die 1 is ja positiv

Und das ist die Ungleichung: 1-k^2 größer gleich 0

Student

Also kann man schreiben "1-k^2<=0"?

Größer gleich, dann passts, ja ;)

Student

Also >?

>=

Student

Ja

Hast das geschrieben?

Student

Und wo schreibt man das hin?

Student

Weil unter die Aufgabe muss ja die weitere Rechnung hin

Unter der Anmerkund, dass die Wurzel nicht negativ sein soll

Das ist die weitere Rechnung

Der ganze Rest ist für den weiteren Rechenweh nichtmehr wichtig

Student

Ja ok das hab ich

Student

Also ist k^2= 0?

So und jetzt nach k umstellen ;)

Nicht so schnell :p

Student

Und wie macht man das jetzt wieder?😩😩

Das kannst du

Student

Ich konnte noch nie Formeln umstellen🙄😂

Deine Ungleichung behandelst einfach wie eine Gleichung

Student

Aber wie macht man das mit den x1/2 vom Anfang

X1/2 gibt's nimmer, das ist schon weg

Student

Hä wo ist das hin?😂

Alles das noch da steht ist deine Ungleichung

Es geht hierbei nicht um x ;)

Student

Also gibt es nurnoch -1+- Wurzel 1-k^2?

Das ist nicht deine Ungleichung

Schick mal ein Foto nochmal

Student

Rechts unten steht deine Ungleichung

Student

Also die 1-k^2>=0

Student

Aber wie kann man das umstellen

Genau

Wie stellst du denn 1-k=0 um?

Student

-k=1?

Nein

Student

Häää

K=1

Student

Ich hab echt null Plan

Student

Und was passiert mit dem -

Nix

Student

Und warum steht das nicht mehr vor dem k

Schreib die Ungleichung unter deiner Rechnung an

Ich erklärs dir lieber am tatsächlichen Beispiel

Student

Ja ik

Nach der Ungleichung schreibst du einen Querstrich und dahinter +k

Student

Aber es ist doch k^2, was passiert mit dem 2

Oh +k^2 sollte das heißen, richtig

Student

Okey ja hab ich

Student

Also dann 1= k^2

Das heißt du zählst k^2 auf beiden Seiten dazu

Student

Auf beiden?

Das ist gleich stimmt nicht

Student

Wie denn sonst

Hast du ja schon fast richtig gemacht

Student

Und was genau ist falsch?

Aber aus >= wird nicht einfach =

Student

Ich hab noch nie eine Gleichung mit diesem Zeichen umgestellt 😅

Das Zeichen bleibt

Student

Also dann 1>=k^2

Nein nicht ganz :p

Student

Och man😩😩

1-k^2 =0

Student

Warum?

Student

Ich dachte die Gleichung wird umgestellt?

Da fehlt das zeichen hoppla

1-k^2>=0

So

Student

Aber ich dachte man bringt das k auf die andere Seite

Jetzt zähle ich auf beiden Seiten k^2 dazu

Student

Warum denn auf beiden?

Also 1-k^2+k^2 >= 0+k^2

Weil man das so macht

Student

Ich dachte bei Gleichungen das was man hinter den Gedankenstrich schreibt wird auf die andere Seite gebracht

Du musst immer auf beiden Seiten die gleiche Rechnung durchführen

Du bringst es ja damit auf die andere Seite

Weil -k^2+k^2 ist ja Null

Student

Ka

Student

Ja

Also wie sieht unsere Ungleichung nach der ersten Umformung aus?

Student

Dann müsste das doch eigentlich 2k^2 +1>=k^2?

Warum 2k^2?

Student

Weil man die beiden k doch zusammenfassen kann

Aber das eine ist doch negativ und das andere positiv

Student

Also fällt das weg

Ja

Also ist die Ungleichung?

Student

Also dann 1>=k^2

Jetzt wirds!

Student

Ich merks😂

Jetzt versuchen wir noch aus dem k^2 ein k zu machen

Student

Ja

Kennst du eine Operation die ubs da hilft?

Student

Wurzel ziehen?

Ja

Wurzel über beide Seiten drüber also

Student

Aber was will man denn da ziehen wenn man nicht mal ne Zahl hat? Macht man das dann mit der 1?

Student

Also 1=k

Ja fast

Student

1>=k?

Das weißt du eventuell nicht, aber beim k müssen auch noch Betragsstriche drüber

Student

Das heißt?

|k|

Heißt einfach, dass das Vorzeichen egal ist

Student

Also 1>= |k|

Und das kannst du doch jetzt wohl lösen ;)

Student

Ja dann ist 1=k??

Nein

Student

Oh man🤦🏼‍♀️

Das steht größer gleich

Verstehst du was der Betrag heißt?

Student

Nicht wirklich

Student

Also warum man das jetzt da macht

Du machst das weil du die Wurzel ziehst

Student

Achso

Durch die Wurzel geht ja das vorzeichen weg und die Zahl wird immer positiv

Student

Ja

Im Grubde genommen suchst du jetzt einfach Zahlen der Betrag kleiner ist als 1

*kleiner gleich

Student

0?

Student

Dann könnte es doch theoretisch auch zB 0,5 sein

Aber 0,5 ist nicht ganzzahlig

Student

Ach stimmt ja

Die 3 Lösungen sind -1,0,1

Student

Ja

Und damit ist dieses Beispiel gelöst

Student

Also gibt es 3 lösungsmengen?

Nein, eine ;)

{-1,0,1}

Student

Mein ich ja😅

Eine Menge mit 3 Elementen ;)

Student

Ja genau

Student

Danke für deine Zeit 😅

Kein Problem

Ich hoff es ist dir halbwegs klar was wir da gemacht haben 😉

Sonst stell bitte einfach noch Fragen dazu ^^

Student

Soweit ist alles gut, Danke 😊

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